摘要 本文提出了基于数学形态学的遥感影像分类后处理方法，利用数学形态学的基本概念和算法，在遥感软件ERDAS的平台上，对结构元灵活的组合﹑分解，应用形态变换序列达到了消除噪声﹑填补孔穴和光滑边界的效果，最大程度的保留了影像的信息，同时优化了分类后的影像。

关键词 数学形态学 分类后处理 结构元

0 引言

传统的遥感影像分类方法得到的分类结果都有一定的缺陷，如斑块较为零碎﹑产生一些孤立点﹑断点﹑孔穴﹑毛刺等，会给图像质量﹑精度带来一些不利影响，为此需要填补孔穴，消除断点﹑孤立点等，其中主要是噪声的消除[2]。而传统的分类后处理方法是强制进行类的归并和清除，算法是逐像素独立进行，很少考虑空间关系约束，使影像的信息产生损失[3]。近年来，数学形态学的不断发展，使其成为综合多学科的交叉科学，又由于数学形态学的描述语言是在高维离散空间下的集合论，所以它可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中遇到的问题。对于影像分类后处理，数学形态学方法更显示了其最大限度保留原始影像信息和消除噪声的优势。

1 数学形态学

数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。1964年，法国学者Serra和Matheron在法国共同建立了枫丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心，并逐步建立完善了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。数学形态学是一门建立在严格的数学理论基础上的科学，是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何﹑积分几何﹑测度论﹑泛函分析和随机过程等许多数学概念，其中积分几何和随机集论是其赖以生存的基石。1973年Matheron出版了《Ensembles Aleatoireset Geometrie Integrate》一书，严谨而详尽的论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。1982年，Serra出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。此后，经过科学工作者的不断努力，Serra主编的《Image Analysis and Mathematical Morphology》第2﹑3卷相继出版。1986年，CVGIP发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。

1.1 数学形态学基本原理[4]

设用ζ表示离散二维欧几里德空间，图像A是ζ的一个子集，结构元B也是ζ的一个子集，b∈ζ是欧氏的一个点，定义两个概念：

定义 1：Ab定义为图像A被b平移后的结果，表示为：

Ab{ a＋b |a∈A} ……

Ab中所有元素是A中对应元素平移到以b为原点的坐标系内的结果

定义 2：A定义为图像A对于图像原点的反射结果，表示为：

A={－a|a∈A} ……

见图1－1定义图像A及点b，图1－2为图像A被b平移和被原点反射的结果。

根据上述两个概念，可定义数学形态学中两个基本运算：膨胀（dilation）和腐蚀（erosion）。

定义 3：膨胀运算定义为：AB={a＋b|a∈A，b∈B}∪Ab ……

定义 4：腐蚀运算定义为：A⊙B={z∈ζ|BzA}∩ Ab ……

式表示图像A被结构元素B膨胀,膨胀后A形状与结构元素B的形状有很大关系。式表示图像A被结构元素B腐蚀，腐蚀结果与结构元素B的选取有关。图1－3给出了膨胀和腐蚀的例子。

在定义膨胀和腐蚀运算的基础上，可定义数学形态学另外两个常用运算：开运算（opening）和闭运算（closing）。

定义5：A对B的开，即A被B进行开运算的结果定义为：

A×B={A⊙B}B,即A先被B腐蚀，再被B膨胀的结果。

定义6：A对B的闭运算，定义为：A·B＝（AB）⊙B,

即A先被B膨胀，再被B腐蚀。

开运算可用来删除图像中的小分支，而闭运算可填补小空穴。

1.2 数学形态学基本性质
性质1：腐蚀运算具有平移不变性，即：（ApB）=( AB)p，（Ap⊙B）=( A⊙B)p；

性质表明对图像A进行腐蚀和膨胀运算结果只取决于A与B的结果，与A的位置无关。

性质2：对开运算和闭运算，有：A?BAA·B；

即开运算使图像缩小，闭运算使图像增大。

2 数学形态学应用于遥感影像分类后优化处理

针对遥感影像分类后，图像产生的孤立点﹑断点﹑空穴﹑毛刺等，我们可采用数学形态学的膨胀﹑腐蚀﹑开运算﹑闭运算等，来消除细小斑块，光滑边界。它比传统的强制聚类和筛选方法更多的考虑了图像分类后的结构特征，使类的归并和删除更趋于科学合理，使分类处理后的影像在保持了原有的分类信息的同时，更方便了分类影像信息的解译。

2.1数学形态学在遥感影像分类后优化处理中的推广

利用数学形态学方法来进行分类后处理，是基于灰度级数学形态学[1]（grayscale morphology），灰度级影像数学形态学变换是二值影像数学形态变换理论的推广。本影（umbra）是灰度级数学形态变换的一个基本概念。一幅灰度影像f(x,y)间可看成是由点[x,y,f(x,y)]组成的一个离散的曲面，那么它的本影U(f)是定义在三维欧氏空间的一个点集，该点集中任一元素P（x,y,z）满足z<f(x,y)。所有的灰度形态变换都是建立在本影的交﹑并﹑平移基础上的。

设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素，它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实数的集合，同时假设（x,y）是来自Z×Z的整数,f和b是对坐标为(x,y)像素灰度值的函数。如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替。

那么，膨胀运算可推广为：

(fb)(s,t)=min{f(s+x,t+y)-b(x,y)|(s+x),(t+y)∈Df ；(x,y)∈Db }

腐蚀运算推广为：

(f⊙b)(s,t)=max{f(s-x,t-y)+b(x,y)|(s-x),(t-y)∈Df ；(x,y)∈Db }

其中Df 和Db 分别是函数f和b的定义域，b是形态处理的结构元素，此处b是一个子图像函数而不是一个集合。(s-x)和(t-y)是位移参数，必须包含在函数f的定义域内。

对于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域中选择（f＋b）的最大值，所以得到两种结果：(1) 如果所有的结构元素都为正，则输出图像趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少。

对于腐蚀操作是在结构元素定义的邻域内选择（f－b）的最小值，所以腐蚀后得到的结果是：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经过腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。本文中结构元素b采用图1－4所示的形状和幅值来定义。

同样，对于开和闭运算也可以进行，开运算推广为：

f .b＝（f ⊙ b） b

闭运算推广为： f·b＝（f b）⊙ b

开运算和闭运算可以解释为让球形结构元素b沿f滚动，只是开运算沿f的下沿滚动，而闭运算沿f的上沿滚动。在运用中开运算用于去除较小的亮点（相对结构元素而言），同时保留所有的灰度和较大的亮区特征不变。闭运算用于去除图像中较小的暗点（相对结构元素而言）同时保留原来较大的亮度特征。

根据上面的数学形态学推广定义，接下来就可以应用这些定义进行空穴断点消除﹑细小斑块消除﹑边界光滑及最大程度的聚类合并，使优化处理后的分类影像更接近真实地面的类别精度，从而达到分类后影像的优化处理目的。

把数学形态学应用于聚类的基本思想使根据样本的形状来区别不同的类别，但是它不能区别出两个形状相同但不应属于同类（位置不同）的类别。为了解决这个问题，可以利用图论中的求连同图的方法来进行运算，定义为：{ Graph（f ⊙ b）} b。

3 应用实例

本次试验使用黑龙江省哈尔滨市的2001年的TM和SPOT数据，经过影像预处理后，形成正射影像图，然后TM与SPOT进行融合。然后在融合影像上选取了典型的地区进行了非监督分类，进行了传统的分类后处理与数学形态学处理的比较，得出了利用数学形态学进行分类后影像处理具有很好效果的结论。

试验中以ERDAS 8.4为平台，进行了上述的影像处理，并且本文的数学形态学方法采用其内部EML语言来实现。然后处理结果与软件的传统方法处理结果进行了比较，取得满意效果。

试验后，分别对传统分类后处理和数学形态学处理按分类后的类别进行了统计，从中可以发现，采用数学形态学的处理方法更多的考虑了影像结构上的特征，所以它比传统处理方法中只考虑辐射值和灰度值具有更大的优势，而且处理后使那些分散且所占比例较少的类别

按合理的方式进行合并，填补空穴与边界圆滑，更符合真实自然的地面现状。结果见表1－5 ,图1－6,图1-7。

表 1－5 分别利用传统聚类方法与数学形态学方法进行分类后遥感影像处理的结果比较

在上表中前四类分别代表了水体﹑植被﹑建筑物和裸地，而后面三类则代表了影像中的空穴﹑疵点及未知地表类别，从表中可以看出经数学形态学处理后较传统的聚类方法处理后，使后面三类影响分类影像质量的因素比例大大下降，从而保证了分类后影像的精度。

图1-6 传统聚类方法

4 讨论

（1）利用数学形态学处理过程中，应该更好的研究如何针对不同地区及时相的遥感数据采用适合的结构元和形态变换序列与运算，从而提高分类后处理的精度，更好的达到优化的目的。

（2）目前分类影像的分辨率都比较低，如果选择分辨率较高的遥感影像进行分类的话，从经济上考虑是不可行的，因为目前高分辨率的影像价格仍然很昂贵。所以探索充分利用中等分辨率影像进行类别的提取且达到实际应用的目的是当前要解决的关键技术。而且类别的提取技术直接关系到分类后的影像的精度和质量问题，所以应该研究新的分类技术，而不能只停留在分类后处理的阶段。

（3）另外，在分类后处理中可以考虑辅助其它资料，比如土地利用现状图等图件，使处理更具有针对性。所以研究使用多源数据进行分类后处理的方法，可以利用更多的参考信息，处理的效果将会更加突出，这样的方法更具有实用价值。　

参考文献

[1] 阮秋琦 数字图像处理学 电子工业出版社，2001

[2] 王思远 中国测绘研究院硕士研究生学位论文,1996

[3] 陈述彭 童庆禧 郭华东 遥感信息机理研究 科学出版社,1998

[4] 数学形态学方法及其应用 超星主页 Http://www.ssreader.com.cn